เมื่อเด็ก 10 ขวบถูกท้าทาย: ตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ที่โด่งดังที่สุดคนหนึ่งในโลก

ผมเคยนำเสนอว่า ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์เราควรจะมีบทเรียนที่ท้าทายความคิดของเด็กบ้าง เพราะนิสัยเด็กมักชอบการท้าทาย เมื่อถูกท้าทายก็จะทำให้เกิดความมุ่งมั่น อยากเรียน อยากค้นคว้า

ศาสตราจารย์สุทัศน์ ยกส้าน นักวิทยาศาสตร์ที่สามารถทำเรื่องยากๆให้ชาวบ้านเข้าใจได้ เล่าว่า เด็กชาวเกาหลีใต้หันมาสนใจเรียนวิทยาศาสตร์กันมากเพราะถูกท้าทายจากคำถามที่ว่า "ตดของคนเราสามารถติดไฟได้ไหม?"

เพราะคำถามนี้นี่เองจึงได้ทำให้เด็กๆ ที่อยู่ในวัยที่ "ชอบท้าทายและชอบทะลึ่ง" หันสนใจและสนุกสนานกันมาก จนนำไปสู่การค้นคว้าตำราทั้งวิชาชีววิทยาและเคมี ในที่สุดรัฐบาลเกาหลีใต้ได้ถือเอาการผลิตหนังสืออ่านสำหรับเด็กเป็นยุทธศาสตร์การพัฒนาวิทยาศาสตร์ของประเทศ

คนไทยเราก็สนใจไปเที่ยวประเทศเกาหลีกันเยอะเพราะได้ดูหนังเกาหลี (ฮา)

ในบทความนี้ผมจะนำเสนอเรื่องราวของเด็กชายคนหนึ่ง ชื่อ แอนดรูว์ ไวลส์ (Andrew Wiles) เขาถูกท้าทายตั้งแต่อายุ 10 ขวบ จากตำราคณิตศาสตร์ที่เขายืมมาจากห้องสมุดประชาชนที่ตั้งอยู่ริมเส้นทางเดินจากบ้านไปโรงเรียนในเมืองเคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ

เมื่อเขาได้อ่านทฤษฎีจากตำราเล่มนั้น เขาก็อ่านรู้เรื่องเข้าใจเพราะเป็นเรื่องที่ง่ายๆ เด็กไทยเราระดับชั้นมัธยมปีที่สองทุกคนก็เคยพบกับบางส่วนของทฤษฎีบทนี้มาแล้ว แต่ความน่าสนใจที่ทำให้เด็กชายแอนดรูว์ถูกท้าทายก็ตรงที่ว่า

ยังไม่มีใครในโลกนี้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้เลยตลอด 350 ปีที่ทฤษฎีบทนี้ถูกตั้งขึ้น

ต่อมาเมื่อเขาอายุได้ 42 ปี (เขาเกิดปี พ.ศ.2496) เขาก็สามารถพิสูจน์ทฤษฎีคณิตศาสตร์ที่อยู่ในหนังสือเล่มนั้นได้จริงๆ เขาให้สัมภาษณ์ถึงความรู้สึกครั้งแรกที่ได้เห็นทฤษฎีบทนี้ว่า "ผมจะไม่ยอมปล่อยให้มันผ่านไปเฉยๆ อย่างแน่นอน ผมจะต้องพิสูจน์มันให้ได้"

ทฤษฎีบทที่ว่านี้ เมื่อเอ่ยขึ้นมาแล้ว ทุกท่านสามารถอ่านแล้วเข้าใจในตัวทฤษฎีบทอย่างแน่นอน แต่การพิสูจน์ตัวทฤษฎีบทนี้ซิเป็นเรื่องที่ยากมากๆ จนทำให้นักคณิตศาสตร์ดังๆ ระดับโลกต้องจนมุมและหน้าแตกมามากต่อมากแล้ว

ผมไม่ได้นำเสนอวิธีการพิสูจน์ เพราะผมเองก็ไม่เข้าใจวิธีการพิสูจน์ที่มีความยาวหลายร้อยหน้า แต่จะนำเสนอเบื้องหลังและแรงจูงใจที่เคยผูกใจให้เด็กวัยเพียง 10 ขวบคนหนึ่งต้องติดตามเรื่องนี้อย่างมุ่งมั่นมาตลอด

ทฤษฎีบทนี้คล้ายกับทฤษฎีของพีทาโกรัสที่เราเคยเรียนมาแล้ว ความว่า "พื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมรวมกันจะเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก" (ดูภาพประกอบ)

เมื่อได้เห็นภาพแล้ว เราก็ฟื้นความทรงจำของเรากลับมาได้แล้วใช่ไหมครับ? ถ้าเราเขียนทฤษฎีบทนี้เป็นสมการคณิตศาสตร์ก็จะได้ว่า a² + b² = c²

สมการนี้เป็นจริงเสมอ ไม่ว่า a, b และ c จะยาวเท่าใดก็ตามขอให้สามารถประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ก็แล้วกัน

มีคนลองคิดว่า ถ้าให้ a, b และ c เป็นจำนวนนับซึ่งได้แก่ 1, 2, 3, ไปเรื่อย ๆ บ้างละจะเกิดอะไรขึ้น จะเป็นจริงไหม ปรากฏว่าบางชุดของจำนวนทั้ง 3 นี้ก็สามารถทำให้สมการนี้เป็นจริงได้ เช่น 3² + 4² = 5² หรือ 5² + 12² = 13² หรือ 6² + 8² = 10² เป็นต้น

เมื่อเป็นดังนี้ พวกที่ "คลั่งไคล้รูปแบบ (Pattern Freak)" ซึ่งเป็นคุณสมบัติหนึ่งของนักคณิตศาสตร์ก็เริ่มจัดรูปแบบทันที

นักคณิตศาสตร์คนหนึ่งชื่อแฟร์มา (Fermat - เมื่อประมาณ พ.ศ. 2180 เป็นชาวฝรั่งเศส) ก็เริ่มจัดรูปแบบมั่งว่า

"ถ้าอย่างนั้นขอยกกำลังสามบ้างได้ไหม" คือ a³ + b³ = c³ หมายถึงการขอขยายจากพื้นที่จัตุรัสเป็นปริมาตรของรูปลูกบาศก์ โดยให้ a, b และ c เป็นจำนวนนับด้วย แต่ในที่สุดแฟร์มาก็มาได้ข้อสรุปเป็นทฤษฎีบท (เรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา) ว่า

"ไม่มีจำนวนนับ x, y, z ใดเลย ที่ทำให้ xⁿ + yⁿ = zⁿสำหรับจำนวนนับ n ที่มากกว่า 2"

นอกจากตัวทฤษฎีบทที่ได้กล่าวแล้ว แฟร์มายังได้เขียนโน้ตไว้ด้วยว่า "ข้าพเจ้าได้ค้นพบบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์เป็นอย่างยิ่ง แต่ที่ว่างบนขอบกระดาษไม่เพียงพอที่จะใส่บทพิสูจน์นี้"

ด้วยความที่เป็นทฤษฎีบทที่สามารถเข้าใจได้ง่ายๆและตรงข้อความในโน้ตของแฟร์มานี้ด้วยกระมัง ที่ทำให้นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังๆ รู้สึกว่าถูกท้าทายมากขึ้น (ไม่เฉพาะแต่เด็กๆ)

ท่านผู้อ่านที่ไม่คุ้นเคยกับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อาจจะสงสัยว่า "ไอ้การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์" นั้นเป็นอย่างไร

คำถามนี้ แอนดรูว์ ไวลส์ ได้อธิบายหลังจากเขาพิสูจน์ได้แล้ว พอสรุปความได้ว่า

การหยิบเอาชุดของจำนวนนับมาทีละ 4 ตัว คือ x, y, z และ n มาสัก 4 ล้านชุด หรือสัก 4 พันล้านชุดก็ตาม มาแทนในสมการดังกล่าว เมื่อพบว่าไม่มีจำนวนนับชุดใดเลยที่ทำให้สมการนี้จริงแล้ว จะถือว่านั่นเป็นวิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ เพราะชุดของจำนวนนับมีจำนวนนับไม่ถ้วนหรือมีจำนวนเป็นอนันต์ (infinity)

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คืออะไร? นักข่าวถามแอนดรูว์ ไวลส์ เขาอธิบายว่า

"การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ คุณต้องมีลำดับของเหตุผลประกอบด้วยหลายๆขั้นตอน แต่ละขั้นตอนเกือบจะต้องมีความชัดเจนในตัวเอง ถ้าเราเขียนการพิสูจน์เป็นอักษร จะต้องไม่มีใครมาพบในภายหลังว่าเราผิดพลาดอีก การพิสูจน์มากมายได้กระทำมาตั้งแต่สมัยกรีกแต่ยังคงความถูกต้องอยู่จนถึงทุกวันนี้"

แอนดรูว์ ไวลส์ ได้รับปริญญาเอกสาขาคณิตศาสตร์ ต่อมาได้เป็นศาสตราจารย์ประจำมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (Princeton University) สหรัฐอเมริกา งานวิจัยของเขาเกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน แต่ก็ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายที่ทฤษฎีของแฟร์มา อย่างไรก็ตาม ในระหว่างการวิจัยเนื้อหาใดที่พอจะนำไปสู่การพิสูจน์ทฤษฎีของแฟร์มาได้ย่อมอยู่ในความสนใจของไวลส์เสมอมา

เพื่อให้ท่านผู้อ่านสามารถนึกภาพได้ว่า การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้นั้นมีความยากเย็นขนาดไหน และโยงไปถึงว่า แอนดรูว์ ไวลส์มีความพยายามขนาดไหน ผมมีคำตอบครับ กล่าวคือมีคนเคยถามนักคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้ที่มีอิทธิพลในวงการคณิตศาสตร์มากที่สุดในโลกคนหนึ่ง คือ ฮิลแบร์ท (Hilbert-ชาวเยอรมัน) ว่า

"ทำไมท่านถึงไม่สนใจพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาบ้าง" ฮิลแบร์ท ตอบว่า "ก่อนจะเริ่มต้นพิสูจน์ผมจะต้องใช้เวลา 3 ปีเพื่อศึกษาเรื่องนี้อย่างเข้มข้น แต่ผมไม่มีเวลามากที่จะใช้ไปกับสิ่งที่อาจจะพบกับความล้มเหลว"

แอนดรูว์ ไวลส์ใช้เวลาถึง 8 ปีเพื่อซุ่มตัวอย่างเงียบๆ ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ในขณะเดียวกันก็ทำงานอื่นในฐานะศาสตราจารย์ไปด้วย

ผู้อ่านหลายท่านอาจจะไม่ได้สังเกตว่า รางวัลระดับโลกที่ชื่อ "รางวัลโนเบล" นั้นไม่มีสาขาคณิตศาสตร์รวมอยู่ด้วย แต่ขณะเดียวกันสังคมโลกก็มีรางวัล "Fields Medal" ที่เทียบศักดิ์ศรีกันได้กับรางวัลโนเบล แต่มีข้อแม้ว่าผู้ได้รางวัลจะต้องอายุไม่เกิน 40 ปี แอนดรูว์ ไวลส์จึงพลาดรางวัลนี้ไปอย่างเฉียดฉิว อย่างไรก็ตามเขาก็ได้โล่ห์เงินเป็นรางวัลไปแทน

แอนดรูว์ ไวลส์ได้รับรางวัลในระดับนานาชาติอีกหลายรางวัล แต่ไม่ว่ารางวัลใดๆ ก็ไม่ใช่สิ่งที่จะทำให้เขามีพลังและความมุ่งมั่นตลอดชีวิตของเขา

เขากล่าวกับผู้ทำสารคดีบีบีซี ว่า มันเป็นความรู้สึกที่ฝังใจผมมาตั้งแต่วัยเด็ก ไม่มีสิ่งใดมาทดแทนสิ่งนี้ได้ ในวัยผู้ใหญ่ผมมีโอกาสพิเศษที่หาได้ยากมากที่จะผลักดันความใฝ่ฝันในวัยเด็กของผม ผมรู้ว่านี่เป็นโอกาสที่น้อย แต่ถ้าคุณสามารถตั้งใจทำบางสิ่งในวัยที่เป็นผู้ใหญ่ซึ่งมีความหมายต่อวัยเด็กของคุณแล้ว มันมีความหมายมากกว่าการได้รับรางวัลใดๆ

การได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำเร็จมันเหมือนกับได้สูญเสียอะไรบางอย่างไป แต่ขณะเดียวกันมันก็เหมือนกับการได้รับอิสรภาพที่ยิ่งใหญ่มาก ผมเองได้หมกมุ่นอยู่กับปัญหานี้มานานถึง 8 ปี ผมคิดถึงมันตลอดเวลา ตั้งแต่ตื่นนอนตอนเช้าจนถึงเข้านอนในตอนกลางคืน มันเป็นเวลาที่นานมากที่คิดถึงสิ่งเดียวนั้น เมื่อตำนานเรื่องยาวนี้จบลงได้ จิตใจของผมจึงสงบลง

ผู้อ่านบางท่านอาจจะเคยได้ยินได้ฟังเพลงของ ทอม เลห์เรอร์ (Tom Lehrer) ผมเองไม่ใช่คอเพลงสากลจึงไม่ค่อยรู้จักใคร แต่หลังจากได้ค้นกูเกิ้ล (google) ไปมาก็พบว่า ทอม เลห์เรอร์ (เกิดปี พ.ศ. 2471) มีอัลบั้มหลายชุดซึ่งก็ดังระดับโลกเหมือนกัน

ทอม เลห์เรอร์ ได้แต่งเพลงชื่อ That’s Mathematics (นั่นคือคณิตศาสตร์) ในเนื้อเพลงได้เอ่ยถึง แอนดรูว์ ไวลส์ และร่วมฉลองความยินดีให้เขาด้วย ประโยคสุดท้ายของบทเพลงนี้กล่าวว่า You just can’t get away from mathematics!.

เราไม่สามารถหลีกหนีไปจากคณิตศาสตร์ได้

ผมเชื่อว่าท่านผู้อ่านทุกท่านก็อยากให้เด็กไทยหันมาให้ความสนใจคณิตศาสตร์กันเยอะๆ โดยเริ่มต้นท้าทายอย่างสร้างสรรค์ต่อพวกเขาเสียตั้งแต่ยังเยาว์วัย

ทั้งรัฐบาลชั่วคราวและรัฐบาลต่อๆไป โปรดฟังอีกครั้ง!